رابطه مرکل (Merkel Equation) یکی از روابط بنیادی در طراحی و تحلیل برج‌های خنک‌کننده مرطوب است. این رابطه انتقال هم‌زمان حرارت و جرم بین آب و هوا را بررسی می‌کند و خروجی آن، یعنی عدد مرکل (Merkel Number)، مشخصه انتقال موردنیاز برای رسیدن به دمای خروجی مطلوب را نشان می‌دهد. در طراحی پکینگ و تعیین ارتفاع ناحیه انتقال، رابطه مرکل نقش اصلی را دارد.

در روش مرکل، خنک شدن آب فقط با اختلاف دمای آب و هوا بررسی نمی‌شود. تبخیر آب هم در نظر گرفته می‌شود و اختلاف آنتالپی هوای اشباع و هوای واقعی به‌عنوان نیروی محرک انتقال به کار می‌رود.

برای آشنایی با ساختار کلی برج، اجزای آن و نحوه عملکرد، مقاله برج خنک کننده چیست و چگونه کار می‌کند؟ را هم مطالعه کنید.

در این مقاله می‌خوانید:

1. رابطه مرکل چیست؟
2. چرا در رابطه مرکل از آنتالپی استفاده می‌شود؟
3. h* و ha در رابطه مرکل چه هستند؟
4. موازنه انرژی در روش مرکل
5. نقش نسبت L/G
6. عدد مرکل (Merkel Number) چیست؟
7. روش محاسبه عدد مرکل (روش چهار نقطه‌ای چبیشف)
8. رابطه مرکل و پکینگ
9. نقش دمای حباب‌تر
10. تفاوت Range و Approach با عدد مرکل
11. فرضیات روش مرکل و تفاوت آن با روش پوپه
12. سؤالات متداول

رابطه مرکل چیست؟

رابطه اصلی مرکل برای cooling tower به این صورت نوشته می‌شود:

Me = Ka·V / L = ∫ cpw·dTw / (h* − ha) (انتگرال از Tw,out تا Tw,in)

در این رابطه:

• Me: عدد مرکل یا Merkel Number
• Ka: ضریب حجمی انتقال جرم
• V: حجم مؤثر ناحیه انتقال
• L: دبی جرمی آب
• cpw: گرمای ویژه آب
• Tw: دمای آب
• h*: آنتالپی هوای اشباع در دمای آب
• ha: آنتالپی واقعی هوای مرطوب

عدد مرکل را می‌توان هم از مشخصه انتقال برج (Ka·V/L) و هم از انتگرال‌گیری روی فرآیند خنک شدن آب تعیین کرد.

چرا در رابطه مرکل از آنتالپی استفاده می‌شود؟

در برج خنک‌کننده مرطوب، بخشی از آب تبخیر می‌شود. انرژی لازم برای این تبخیر از آب گرفته می‌شود و همراه با هوای خروجی از برج خارج می‌شود. بنابراین خنک‌کاری شامل دو پدیده هم‌زمان است:

1. انتقال حرارت محسوس
2. انتقال جرم و حرارت نهان ناشی از تبخیر

به همین دلیل اختلاف دمای آب و هوا به‌تنهایی کل فرآیند را توصیف نمی‌کند. در روش مرکل، نیروی محرک انتقال این‌طور تعریف می‌شود:

Δh = h* − ha

هرچه این اختلاف بیشتر باشد، نیروی محرک انتقال حرارت و جرم بیشتر است. در طول پکینگ این اختلاف ثابت نیست، و برای همین رابطه مرکل به‌صورت انتگرال نوشته می‌شود.

h* و hₐ در رابطه مرکل چه هستند؟

h* آنتالپی هوای اشباع در دمای موضعی آب است. اگر دمای آب در یک نقطه از پکینگ برابر T_w باشد، ابتدا شرایط هوای اشباع در همان دما تعیین می‌شود و سپس آنتالپی آن محاسبه می‌شود.

hₐ آنتالپی واقعی هوایی است که در همان نقطه از برج جریان دارد.

Δh(Tw) = h*(Tw) − ha(Tw)

در طول ارتفاع پکینگ، هم دمای آب و هم شرایط هوا تغییر می‌کنند، پس مقدار Δh هم تغییر می‌کند.

موازنه انرژی در روش مرکل

در مدل کلاسیک مرکل، تغییر جرم آب ناشی از تبخیر در موازنه اصلی نادیده گرفته می‌شود. با این فرض، موازنه انرژی بین آب و هوا به این شکل است:

G·dha = L·cpw·dTw

• G: دبی جرمی هوای خشک
• L: دبی جرمی آب

برای برج جریان مخالف (Counterflow)، با انتگرال‌گیری از این رابطه، آنتالپی هوای واقعی در هر نقطه به‌دست می‌آید:

ha(Tw) = ha,in + (L/G)·cpw·(Tw − Tw,out)

در این رابطه ha,in آنتالپی هوای ورودی به برج است. شکل نهایی رابطه به قرارداد جهت جریان و نقطه مرجع بستگی دارد، پس در پیاده‌سازی محاسباتی این قرارداد را از ابتدا ثابت نگه دارید.

نقش نسبت L/G در رابطه مرکل

نسبت دبی آب به هوای خشک (L/G) کولینگ تاور یکی از پارامترهای مهم تحلیل برج است. این نسبت مسیر تغییر آنتالپی هوا و در نتیجه نیروی محرک انتقال را در طول پکینگ تعیین می‌کند.

با این حال L/G به‌تنهایی عملکرد برج را تعیین نمی‌کند. نوع پکینگ، سطح مؤثر انتقال، سرعت هوا و آب، ارتفاع پکینگ، افت فشار و شرایط هوای ورودی هم مؤثرند. بنابراین نمی‌توان فقط با تغییر L/G عملکرد کل برج صنعتی را پیش‌بینی کرد.

عدد مرکل (Merkel Number) چیست؟

عدد مرکل که با Me نشان داده می‌شود، کمیتی بدون‌بعد برای بیان مشخصه انتقال در شرایط عملکردی مشخص است:

Me = Ka·V / L

و از دیدگاه فرآیندی:

Me = ∫ cpw·dTw / (h* − ha) (از Tw,out تا Tw,in)

این دو بیان، دو دیدگاه به یک مسئله‌اند. یکی به مشخصه انتقال حجمی و حجم ناحیه انتقال می‌پردازد و دیگری به شرایط ترمودینامیکی آب و هوا در طول فرآیند.

آیا عدد مرکل هرچه بیشتر باشد بهتر است؟

خیر. عدد مرکل امتیازی برای رتبه‌بندی برج‌ها نیست و مقدار آن به شرایط طراحی وابسته است:

• دمای آب ورودی و خروجی
• شرایط هوای ورودی و دمای حباب‌تر
• نسبت L/G
• مشخصات پکینگ
• روش محاسباتی

در طراحی واقعی باید بررسی شود که مشخصه انتقال قابل دستیابی توسط پکینگ و حجم انتخاب‌شده، با مشخصه انتقال موردنیاز شرایط طراحی مطابقت دارد یا نه.

روش محاسبه عدد مرکل (روش چهار نقطه‌ای چبیشف)

عمل، انتگرال مرکل معمولاً به‌صورت عددی حل می‌شود. رایج‌ترین روش، روش چهار نقطه‌ای چبیشف است:

Me ≈ (cpw·(Tw,in − Tw,out) / 4) × (1/Δh₁ + 1/Δh₂ + 1/Δh₃ + 1/Δh₄)

مقدار Δh در چهار دمای زیر محاسبه می‌شود:

Tw₁ = Tw,out + 0.1·Range
Tw₂ = Tw,out + 0.4·Range
Tw₃ = Tw,out + 0.6·Range
Tw₄ = Tw,out + 0.9·Range

نمونه روند محاسبه

فرض کنید شرایط طراحی یک برج این‌طور باشد:

مراحل محاسبه:

رنج برابر 15 درجه است و چهار دمای 31.5، 36، 39 و 43.5 درجه سانتی‌گراد به‌دست می‌آید.

در هر دما، آنتالپی هوای اشباع (h*) محاسبه می‌شود.

با استفاده از آنتالپی هوای ورودی و موازنه انرژی، ha در هر نقطه به‌دست می‌آید.

در هر نقطه Δh = h* − ha محاسبه می‌شود.

مقادیر در رابطه چهار نقطه‌ای قرار داده می‌شوند تا Me به‌دست آید.

بدون مشخص بودن دبی آب و هوا، فشار، شرایط سایکرومتریک هوای ورودی و روش محاسبه خواص هوا، ارائه یک عدد نهایی برای Me قابل اتکا نیست.

رابطه مرکل و پکینگ برج خنک کننده

پکینگ محل اصلی ایجاد سطح تماس گسترده بین آب و هواست، پس مشخصات انتقال آن مستقیماً در مقدار Ka·V اثر دارد. اگر سطح مقطع مؤثر پکینگ A و ارتفاع آن Z باشد:

V = A·Z
Me = Ka·A·Z / L

بنابراین ارتفاع ناحیه انتقال یکی از پارامترهای مستقیم مشخصه انتقال است. اما Ka مقدار ثابتی نیست و با بار آب، بار هوا، هندسه پکینگ و شرایط هیدرودینامیکی تغییر می‌کند. استفاده از یک مقدار عمومی برای Ka بدون توجه به شرایط واقعی پروژه می‌تواند خطای قابل توجهی ایجاد کند.

چرا سطح ویژه پکینگ به‌تنهایی کافی نیست؟

دو پکینگ با سطح ویژه هندسی مشابه، الزاماً عملکرد حرارتی یکسانی ندارند، چون تمام سطح هندسی به یک اندازه در انتقال مشارکت نمی‌کند. این پارامترها بر مشخصه انتقال اثر دارند:

• نحوه توزیع آب و میزان خیس‌شدن سطح
• سرعت آب و هوا
• هندسه کانال‌ها
• نسبت L/G
• افت فشار و ارتفاع پکینگ

انتخاب پکینگ در برج صنعتی باید بر اساس عملکرد انتقالی آن در شرایط واقعی کار باشد، نه فقط سطح ویژه اسمی.

نقش دمای حباب‌تر(وت بالب) در محاسبه مرکل

دمای حباب‌تر هوای ورودی یکی از مهم‌ترین شرایط مرزی در برج‌های خنک‌کننده مرطوب است و ظرفیت هوا برای دریافت گرما و رطوبت از آب را تعیین می‌کند. اگر شرایط آب یکسان باشد ولی برج در دو اقلیم متفاوت کار کند، نیروی محرک انتقال و مشخصه انتقال موردنیاز متفاوت خواهد بود. به همین دلیل طراحی باید بر اساس شرایط اقلیمی واقعی محل نصب انجام شود.

تفاوت Range و Approach با عدد مرکل

Range،Approach  و Merkel Number سه مفهوم مرتبط اما متفاوت‌اند.

Range کاهش دمای آب در برج است:

Range = Tw,in − Tw,out

Approach فاصله دمای آب خروجی از دمای حباب‌تر هوای ورودی است:

Approach = Tw,out − Twb,in

عدد مرکل مشخصه انتقال حرارت و جرم را بیان می‌کند:

Me = ∫ cpw·dTw / (h* − ha)

Range و Approach بیشتر مشخصات عملکرد حرارتی برج را نشان می‌دهند، اما عدد مرکل به تحلیل فرآیند انتقال در ناحیه انتقال مربوط است. این سه را نباید جایگزین هم کرد.

رابطه مرکل و بار حرارتی برج

بار حرارتی آب این‌طور محاسبه می‌شود:

Q = m·cpw·(Tw,in − Tw,out)

که در آن m دبی جرمی آب است. Q مقدار انرژی دفع‌شده از آب را نشان می‌دهد، ولی برای تعیین ارتفاع پکینگ یا حجم ناحیه انتقال کافی نیست. تبدیل شرایط حرارتی به مشخصه انتقال، همان جایی است که رابطه مرکل وارد می‌شود:

بار حرارتی ← شرایط فرآیند ← مشخصه انتقال ← حجم و ارتفاع انتقال

فرضیات روش مرکل در کولینگ تاور

روش کلاسیک مرکل کاربردی است اما ساده‌سازی‌هایی دارد:

• تغییر جرم آب در اثر تبخیر در موازنه اصلی ناچیز فرض می‌شود.
• ارتباط انتقال حرارت و جرم با فرض مشخصی، یعنی ضریب لویس (Lewis Factor) برابر یک، مدل می‌شود.
• خواص ترمودینامیکی هوا و آب در محدوده کاری مدل‌سازی می‌شوند.
• شرایط جریان و انتقال مطابق مدل انتخاب‌شده در نظر گرفته می‌شود.

تفاوت روش مرکل و پوپه (Merkel vs Poppe)

روش مرکل مدلی کلاسیک و نسبتاً ساده است که فرآیند را بر اساس اختلاف آنتالپی و فرضیات بالا تحلیل می‌کند. روش پوپه (Poppe) جزئیات بیشتری از انتقال هم‌زمان حرارت و جرم و تغییر شرایط هوا و آب را در نظر می‌گیرد. انتخاب بین این دو به سطح دقت موردنیاز، نوع پروژه و هدف محاسبات بستگی دارد. برای بسیاری از محاسبات طراحی، روش مرکل همچنان چارچوبی مهم و پرکاربرد است.

اهمیت رابطه مرکل در طراحی برج خنک کننده صنعتی

در برج صنعتی فقط رسیدن آب از دمای ورودی به دمای خروجی مهم نیست. طراح باید این زنجیره را بررسی کند:

شرایط آب ← شرایط هوا ← نسبت L/G ← نیروی محرک انتقال ← مشخصه انتقال ← حجم انتقال ← ارتفاع پکینگ ← افت فشار ← توان فن

رابطه مرکل یکی از بخش‌های اصلی این زنجیره است. اگر مشخصه انتقال موردنیاز درست تعیین نشود، انتخاب حجم یا ارتفاع پکینگ هم با خطا همراه می‌شود. از طرف دیگر، افزایش حجم پکینگ الزاماً طراحی بهتری نیست، چون افت فشار، ابعاد برج و هزینه تجهیزات را بالا می‌برد. هدف طراحی، تعادل میان مشخصه انتقال موردنیاز، مشخصه انتقال قابل دستیابی و محدودیت‌های هیدرودینامیکی و اقتصادی است.

سؤالات متداول درباره رابطه مرکل

رابطه مرکل در برج خنک کننده چه مفهومی دارد؟
معادله‌ای برای تحلیل انتقال حرارت و جرم بین آب و هوا در برج مرطوب که با استفاده از اختلاف آنتالپی هوای اشباع و هوای واقعی، عدد مرکل را به‌دست می‌دهد.

عدد مرکل (Merkel Number) چه چیزی را نشان می‌دهد؟
مشخصه انتقال موردنیاز برای رسیدن به شرایط طراحی، که با مشخصه انتقال قابل دستیابی پکینگ مقایسه می‌شود.

چرا در رابطه مرکل از آنتالپی استفاده می‌شود؟
چون خنک‌کاری هم شامل انتقال حرارت محسوس و هم حرارت نهان تبخیر است و آنتالپی هر دو را با هم در نظر می‌گیرد.

عدد مرکل چگونه محاسبه می‌شود؟
با حل عددی انتگرال مرکل، معمولاً با روش چهار نقطه‌ای چبیشف.

آیا عدد مرکل بزرگ‌تر یعنی برج بهتر؟
خیر. این عدد به شرایط طراحی وابسته است و معیار مستقیم کیفیت برج نیست.

تفاوت روش مرکل و پوپه چیست؟
مرکل مدلی ساده‌تر با فرضیات بیشتر است و پوپه مدلی دقیق‌تر برای انتقال هم‌زمان حرارت و جرم.

جمع‌بندی

رابطه مرکل یکی از روابط بنیادی در تحلیل برج‌های خنک‌کن مرطوب است:

Me = Ka·V / L = ∫ cpw·dTw / (h* − ha)

عدد مرکل را نباید امتیازی برای خوب یا بد بودن برج دانست. این عدد باید در ارتباط با شرایط طراحی، نسبت آب به هوا، مشخصات پکینگ، شرایط اقلیمی و حجم ناحیه انتقال بررسی شود. در طراحی برج‌های خنک‌کننده صنعتی، رابطه مرکل ارتباط میان شرایط فرآیند و مشخصه انتقال پکینگ را برقرار می‌کند و در تعیین حجم و ارتفاع ناحیه انتقال نقش مهمی دارد.